abc猜想是无聊的猜想

0.abc猜想互质的正整数a，b，c满足：a+b=c，用rad（x）表示正整数x的所有不相同的素因子之积，rad（1）=1。那么猜想：①c=rad（abc）是特例；②c<rad（abc）是普

0.abc猜想

互质的正整数a，b，c满足：a+b=c，用rad（x）表示正整数x的所有不相同的素因子之积，rad（1）=1。那么猜想：①c=rad（abc）是特例；②c<rad（abc）是普遍的，是无限多的；③c>rad（abc）是反例，是有限的。

数学语言，对于任意实数r>0，总存在一个常K（r），若a，b，c互质，a+b=c，那么就有c<K（r）rad（abc）^（1+r）。

abc猜想总想说对于a+b=c，按某种条件，总能保证c<rad（abc）成立。

1.abc猜想和哥德巴赫猜想一样，是一个整除的分类问题，应该是一个无聊的猜想。哥德巴赫猜想在本贴中己经失去了它神秘的面纱，原来它是一个高中学生可以做的数学题。喧染它们如何如何的“数论明珠"，实无意义。

2.分类与分析

正整除要么是偶数要么是奇数。1不是素数。素数只有自身一个素因子。奇合数至少含二个素因子（二个素因子可以相同）。

c非偶数即奇。正整数c的二位分拆个数是[c/2]。[R]表正数R的整数部分。如2=1+1；3=1+2；4=1+3=2+2；5=1+4=2+3等。

2=1+1，唯一的有：c=rad（2×1×1）=2.

当c（c>2）为素数时，3=1+2，5=1+4=2+3，因为，对于a+b=c，c>2，则ab>1，所以，rad（abc）>c。

当c是偶数时（c>2），且偶数=素数+素数（哥德巴赫猜想回答了它是存在的），即对于c=a+b，因为，a和b都是素数（a≠b），a×b>c，所以，rad（abc）>2ab>c。

如果有偶数=偶数+偶数，给两边同时除以2或若干个2，总能把它化为

偶数=1+素数；或者偶数=1+奇合数；或者，偶数=素数+奇合数；或者，偶数=素数+素数；或者，偶数=奇合数+奇合数；或者，奇数=1+偶数；或者，奇数=素数+偶数；或者，奇数=奇合数+偶数。

①命题1，当c=2^n，a=1，b=c-1时，若PXP整除b（素数P>2），那么，rad（abc）=rad（2xP×b/p×p）≤2×P×b/p×p=2b/P<c。

例1，C=2^6n（表2的6n次方，n为正整数），a=1，b=c-1。则9整除b。有rad（abc）<c。

例2，若c=2^n，a=1，b=c-1。当n=20K（k=1，2，…，∞）时，25整除b。则有rad（abc）<c。

例3，若c=2^n，a=1，b=c-1。当n=21K（k=0，1，2，…，∞）时，49整除b。则有rad（abc）<c。

②命题2，当c=6^n时，a=1，P>6为素数，且P×P整除b。对于a+b=c，则有，rad（abc）=rad（1×2×3×P×b/p×p）<6b/P<c。

例1，已知，c=6^14n，b=c-1，a=1，则49整除b。得rad（abc）<c。

一般地，总存在正整数n，使c=q^n，a=1，b=c-1，P×P（素数P>q）整除b。则有，rad（abc）<c成立。（可证它是成立的命题）

综上，这种c（偶数）=a（1）+b（奇合数）或c（奇数）=a（1）+b（偶数），满足：rad（abc）<c是无穷的。所以，abc猜想给出c与rad（abc）大小的判断，谁大于谁的问题是等价的。这是abc猜想的无聊之处。

我们还可以由

③命题3，总存在正整数n，使c=2^n，a=3，b=c-3，P×P（素数P>6）整除b。则有，rad（abc）<c成立。（可证它是成立的命题）

例1，如c=128（2的7次方），a=3，b=125（5的3次方），rad（3×125×128）=rad（2×3×5）=60<c。一般地，c=2^（7+100k），a=3，125整除b，所以，有rad（abc）=rad（6×5b/125）≤6b/25<c。K=0，1，…，∞。

④命题4：总存在n，使P×P整除b（素数P>3）；对于a+b=c，a=1，c=3^n，则有，rad（abc）<c成立。（可证它是成立的命题）

例1，c=3^20k（正整数k→∞），a=1，b=c-1。且25整除b，有rad（abc）<c。

例2，c=3^36k，a=1，b=c-1，且49整除b，有rad（abc）<c。

例3，c=3^29，a=5，则，343（7的立方）整除b，a+b=c，所以，rad（abc）≤15b/49<c。

例4，c=3^n，a=5，存在17^m（m>1）整除b，m=？

有rad（abc）≤15b/17<c。

综上，对于a+b=c，a=r，c=q^n，总存在n，使P×P整除b，那么，有rad（abc）<c。其中，r，q，P均为素数，且rq<P。（这是可证的正确命题）

总之，对于a+b=c，有无数多rad（abc）<c存在，也有无数多的rad（abc）>c存在。它们是等价的。象猜测在正整数数集中是偶数多还是奇数多一样，都是无聊的。但是，它的结论却很有用，如

求方程2^x=3^y+1的整数解。

已知，a+b=c，有rad（abc）>c。因为，方程rad（3^y×2^x）=rad（2×3）=6>2^x。所以，限制了x的上限，经验证，仅有x=2，y=1，一组解。

abc猜想的应用总结如下：

①若a，b，c互质，a+b=c，当rad（ac）<P，且P×P整除b，或rad（bc）<P，且P×P整除a时，或rad（ab）<c/rad（c）时，则rad（abc）<c。

②若a，b，c互质，a+b=c，当rad（ab）>c/rad（c）或rad（c）=c时，则rad（abc）>c。