R到R^2不存在连续双射

话不多说，我们直接给出即将证明的题目：命题1：不存在从  到  的连续双射  这个问题是从以下问题自然联想而来的：命题2：不存在从  到  的

话不多说，我们直接给出即将证明的题目：

命题1：不存在从 到 的连续双射

这个问题是从以下问题自然联想而来的：

命题2：不存在从 到 的连续双射 ，其中 .

命题2的话直接考虑 为一个同胚，然后同时在 和 中挖去一个点，再考虑剩下两集合的连通性即可，具体的说明在命题1的证明中也可以得到体现。下面还是着手来证明命题1。

命题1的证明：

反证法：假设 是从 到 的一个连续双射。

现在对任意的正整数 ，考虑将 限制在闭区间 上，并记 在这之上的像集为 。那么 从 映到 时也将作为一个连续双射。注意到 是紧的， 具有Hausdorff性质，因此 即是一个 到 的同胚。由此我们顺便得到了 是闭的。

其次，我们再证明对每个正整数 ， 均无内点。否则，倘若存在正整数 使得 有内点，即我们可以假设存在点 ，于是就存在 的一个开邻域 满足 。在 中取点 ，满足 在 上的原像 使 是一个不连通的集合（事实上只需 ，而由于 中不可能只有两个元素，故这样的选取是可行的）。但考虑到 却是一个连通集（甚至道路连通）。结合连续函数 恰把 映成 ，这就与连通性矛盾！这样我们就证明了 内部为空集。

最后，由于 ，故由连续双射可得 。结合前面已经得到了 内部均为空，故由Baire纲定理可知 内部也为空，但这显然是矛盾的！

综上，不存在从 到 的连续双射。

（注：本证明想法来源于答主 @ChengAe ）