拉瓦尔喷管

本文考虑的气体模型都采用理想气体。I.声速我们通常认为声波的周期远远小于气体局域平衡的弛豫时间。也就是说，在声音传播的过程中

本文考虑的气体模型都采用理想气体。

I.声速

我们通常认为声波的周期远远小于气体局域平衡的弛豫时间。也就是说，在声音传播的过程中气体满足绝热。

连续性定理： 牛顿第二定律（其实是欧拉方程）： 这里不考虑重力等质量力，即 。

物态方程 是单位物质的量该气体的质量。然而这种情况下 不均匀，所以这条方程并不好用。我们实际上只想要的是 我们想要的解显然应该是无旋的，于是我们可以写出： 。我们想要的解显然应该是稳态解的微扰，于是我们令稳态解 ， 。展开到最低阶：

消去 （左式用 作用，右式用 作用，二式相加）有： 显然就是波动方程，波速 根据我们的绝热假设， ，代入理想气体状态方程得到 ，其中 是该气体热容比。也即：

今后记 为马赫数 。

II.气体的绝热流动

我们要处理的是在一维喷管中的运动。

质量守恒：

能量守恒（绝热）： ，理想气体

牛顿第二定律（其实是欧拉方程）： 在这里定常流动所以 ；没有质量力， 。

如果我们沿着流线操作，也即人为地把 或 的方向摘了出来，然后在这个方向上对坐标微分： ；最后再结合声速的定义 ，我们就得到 写成流量的形式：

如果我们让马赫数连续地增大直到跨过1，就可以发现在亚声速区，随着流量增加（截面积减小），获得的马赫数增大；在超声速区，随着流量减小（截面积增大），获得的马赫数增大。如果喷管的形状使得截面积在亚声速区一直减小直到越过声速，或者截面积在超声速区一直增大直到越过声速，都可以预见气体流速维持在声速。

我们可以利用能量守恒式子写出声速 从而马赫数可以表示成速度的函数： 由于 ， 是总流量，我们写出： 由此我们可以解出 ： 由此还可解得 与 。我给不出解析的解；这需要依赖数值计算的结果。

与 在实际应用中有十分重要的意义：前者决定了喷出工质的马赫数，意义是显然的；而后者则指导了在特定压强下工作的拉瓦尔喷管应该具有什么样的扩张比。

同时我们还可以看出，喷出的气体应当有一个最大的速度： ，这个速度只有在射向真空的时候才能达到。

我们看一下实际中的拉瓦尔喷管：

可以看出，我们的模型还是相当成功的。一个偏差在于我们只考虑了一维的流动；但这效应只在腰部明显。

有大佬做的拉瓦尔喷管在启动时候的数值解：

作者在这里不得不提一下计算过程中的错误：一开始我没有列出微元的动力学方程（欧拉方程），而寄希望与直接写出整体的受力方程。然而没有考虑到管壁对气体的压强，因而得到了速度维持不变的荒谬结论。这个错误显然是不应该的。

III.非设计状态下的拉瓦尔喷管

中间对应的就是设计状态；喷管口的压强就是外界压强，所以射流平行。

当外界压强不够大时，形如右图，成“欠膨胀”状态。

外界压强过大，形如左图，成“过膨胀”状态。此时在喷管口会形成一道斜激波，跨过激波后的气体压强略微升高。

若外界压强进一步增大，会在喷管口形成正激波，随着压强增大激波波面会逐渐向腰部靠近；直到达到腰部以后，不再能有超声速射流射出。