代数拓扑 1st

习题1.2（P4）答：三个范畴： ：{ 代数簇  ，多项式映射  }； ：{ 有限生成既约 k-代数  ，k-代数同态  }；{ 概率空间  ,可测映射  }.三个协变：张量积：

习题1.2（P4）

答：

三个范畴：

• ：{ 代数簇 ，多项式映射 }；
• ：{ 有限生成既约 k-代数 ，k-代数同态 }；
• { 概率空间 ,可测映射 }.

三个协变：

• 张量积：若 为在一固定体上的向量空间的范畴且其态射为线性映射，则张量积 可定义出一个函子 ，其中两个引数都是协变的；
• 切丛：切映射函子 ;
• 诱导从： ，其中 为流形， 为流形间的连续映射， 是以 为底的向量丛.

三个反变：

• 余切丛拉回函子： ；
• ，其中 ;
• ，既是协变函子，又是反变函子.

习题1.3（P4）

证：由书上例 1.5可知 { 空间，映射同伦类 } 是一范畴，下面只需逐条验证协变函子的定义：

• 对于给定的 ，由范畴的定义，有 ， ，由态射的复合规则以及同伦的性质可知： ，即
  ;
• 由上分析可知：
  
• 复合律：
  设
  
  
  
  
  
  
• 单位律：
  
  
  

综上， 为协变函子.

习题2.1（P8）

命题2.4：链映射之间的链同伦是等价关系.

证：逐条验证：

• 自反性： ，设
  
  令 ，其中 是一个典范同构，并且有：
  
  于是对所有 成立:
  
  
  
  .
• 对称性：设链映射 与 链同伦： ，即满足
  
  令 ，带入上式得
  .
• 传递性：设 满足，
  
  
  两式叠加，由同态的性质有
  
  故 .

习题2.3（P8）

链同伦是链复形之间的等价关系.

证：逐条验证：

• 自反性：因自同构 满足
  .
• 对称性：由链复形链同伦的定义的对偶性，立即得证.
• 传递性：设下列三个链复形满足
  
  与 为链同伦等价，由定义存在 与 满足
  
  又由同态复合映射 满足
  
  

综上，链同伦是链复形之间的等价关系.