定积分1

定积分定义在区间  上存在有界函数  ，存在任意的划分方式满足  ,且  ,  则若极限  存在，则在上黎曼可积，且该极限被称为  在上的定积

定积分定义

在区间 上存在有界函数 ，存在任意的划分方式满足 ,且 , 则若极限 存在，则在上黎曼可积，且该极限被称为 在上的定积分或黎曼和。

达布和

记

分别被称之为达布大和和达布小和。

不难看出

易证增加划分后大和不增，小和不减，且大和始终大于等于小和。

记 为全体达布和。则 ，分别记为L和l。

达布定理

对于任意 存在划分 使得 ，记此划分为 .令

当 ,取任意一个满足的划分 记为 。将 的划分插入划分。因为 ，对于任意一个 中最多只插入一个分点。且最多只有 个区间存在插入点。插入分点后，各区间相应项只差