范畴论abc

本人刚刚入门，在经过范畴论的一番折磨之后，决定写一些心得。以下全部都是个人经验，几乎没有任何证据。首先总结一下范畴论的目的，这个

本人刚刚入门，在经过范畴论的一番折磨之后，决定写一些心得。以下全部都是个人经验，几乎没有任何证据。

首先总结一下范畴论的目的，这个语言的好处（再次强调都是个人见解）。范畴论的目的是找到想要的箭头，语言的好处在于，熟悉游戏规则的人可以完全脱离“集合论”式的思考方式，把一切心思都放在“点（object）”和“箭头（morphism）”的引入上。范畴论的推理过程就是根据规则逐步画图。

范畴论定义一个概念，或者指定具有某种的对象，或者建立本体论，的方式是用“万有性质（universal properties）”。万有性质是引入新的箭头的重要来源，万有性质往往不保证存在性，但保证唯一性。用万有性质引入的箭头被认为是典则的（canonical）。万有性质如何记忆？似乎有如下规律：万有性质永远都在告诉我们如何“实现”需要的箭头。比如加性范畴中 的kernel是 是零映射，万有性质应该是 如果是零映射的话，会怎么怎么样。那么我们需要的箭头是 ，如何实现呢？查看下图

很明显，我们只能按照下图的方式实现出 ：

这就帮我们记住了万有性质的箭头的方向。类似地，诸如direct product等等对象的万有性质，似乎都符合这个规律。Again，不要用集合论的方式记忆！集合论可能会说： 要最终打到0，其打到 中的元素必然都落在 里，但如此思考最终会带来非常巨大的思考量，导致极大的困难。

范畴论定义箭头的性质，比如单、满、双、同构等等，是用新的点和箭头，并声明一些逻辑条件定义的；我们强调不要用“元素”等集合论的观念思考，否则极容易陷入先入为主的困境。

在一张图中，新的“点”往往是用万有性质定义的对象，比如kernel，cokernel，image，coimage等等。

为了展示“逐步画交换图”的过程，我们来举一个例子（读者可以跟着下述步骤一起画）：我们希望在加性范畴中找到某个morphism的coimage到image的典则映射，范畴论是如何思考的呢？首先画出下图

回忆image要“挂在 上”，而 一开始只能指出一个cokernel，因此image应该要指向 ，也就是cokernel的kernel，所以我们应该画（括号内的事物可以不用画）

同样的，coimage应该挂在 上， 一开始只能指进来一个kernel，因此coimage应该从 指出去，作为kernel的cokernel，也就是

现在一共有

现在需要找到 ，而且只能用范畴论的公理，我们应该回忆image是cokernel的kernel，特别地，它是一个kernel；kernel的万有性质（在旁边拿出草稿纸回忆一下）是blabla，并画出

万有性质给出了指向kernel的箭头，因此我们只需指出 到 有一个箭头，且满足和cokernel符合是0。那么如何找 到 的箭头呢？回忆coimage是kernel的cokernel，cokernel的万有性质是blabla；万有性质应该帮助我们实现 ，因此我们有一个coimage到 的箭头。那么这个箭头为什么最终和 复合为0呢？因为 是一个满态射，我们有一个重要的常见结构：如果 是满的， ，那么 ；这是因为加性范畴保证了0态射总是存在，考虑 是0态射，我们可以平凡地有 是零态射，因此满态射公理保证了箭头 是0。