交错级数不能用通项等价关系审敛

我们知道，对于正项级数可以利用所谓的通项等价关系进行审敛，即 若 是两个正项级数，且  ,则  有相同的敛散性。事实上，这是正项级数比

我们知道，对于正项级数可以利用所谓的通项等价关系进行审敛，即

若 是两个正项级数，且 ,则 有相同的敛散性。

事实上，这是正项级数比较判别法（极限形式）的一个推论，即 时的结论。但是，这个判别法是不能推广到交错级数上去的，笔者在有的书上和网帖上看到有人用等价关系来判别交错级数的敛散性，这是极端错误的。

为了澄清这个问题，我们仅需举一个反例。考虑以下两个交错级数

事实上，其中 可以通项地表为

此时，容易求得

于是就有

这表明 是同阶无穷小，可记为 . 这样看来，如若交错级数也能如同正项级数那样通过等价关系进行审敛，那么 必定有相同的敛散性，但事实上，可以验证前者发散，而后者收敛，这就表明，交错级数不能如同正项级数那样通过等价关系进行审敛。