与导数题有关的不等式

①  不等式证明：  应用:当x>0,求证  只需证  即证  设函数     ,得  当  时， f'(x)单调递减；当  时，f'(x)单调递增由于  ,故f

①

不等式证明：

应用:

当x>0,求证

只需证

即证

设函数

,得

当 时， f'(x)单调递减；当 时，f'(x)单调递增

由于 ,故f'(x)在 只有一个零点

因为f(x)在 单调递减， 单调递增

所以

故原不等式成立

②

左边证明:设b<a,不等式等价于证

两边平方得

构造函数

令

,当x>1时，g''(x)<0,g'(x)单调递减，因为g'(1)=0,所以当x>1,g'(x)<0,g(x)单调递减，因为g(1)=0,所以g(x)<0,所以f(x)单调递减，因为f(1)=0,所以f(x)<0,故证明成立

应用：

, ,证明：

由题意得

得

故

右边证明:

方法一：设b<a,不等式等价于证

构造函数

当x>1时，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)>f(1)=0,不等式成立

方法二：代换下，得

构造函数

只需证当b>a时，f(x)<0

当b>a,f''(x)<0,注意到f'(a)=f(a)=0，故证明成立

应用：这个不等式十分经典，广泛出现在各种试题中

例题： 图像上不同的两点 , ,是否存在两点A,B使得 处的切线平行于直线AB

解：假设存在两点,

M点切线斜率

令 得

由不等式知道，显然不成立

其他

③ 和

这个就不必多说了

由这个不等式可推

④当x>0,

求导就出来了

⑤

同样求导得出