束流动力学

知乎上的加速器物理感觉内容较少, 简单写写学习笔记. 带电粒子在电磁场的运动, 中学的时候便开始学了，不过是运动方程的积分。理论

知乎上的加速器物理感觉内容较少, 简单写写学习笔记. 带电粒子在电磁场的运动, 中学的时候便开始学了，不过是运动方程的积分。理论上如果计算资源足够丰富，计算得到的结果和实际相差无几。而考虑到计算速度和束流设计，研究束流动力学分为两大类(我喜欢商业软件TraceWin, 分析束流动力学非常直观方便)：

1.运动方程的直接积分，一个个粒子分别跟踪，记录每个粒子在电磁力下的运动，统计每个粒子的坐标。程序例如zgoubi(可以跟踪粒子自旋的变化), pyorbit, 以及warpx(伯克利实验室开发的,包含了空间电荷力的作用，pic算法，可以用来模拟激光等离子体的相互作用). 可计算机存在精度问题,会保留到一定位数,比如大数和小数就不能直接相加,会直接湮没小数的信息. 但有些磁场比较复杂,无法找到一个解析式来表达，通过实验或者模拟得到磁场数据，而后分析轨迹.

最简单的运动方程是

描述一个粒子，需要用到六个坐标，三个位置坐标，三个速度坐标. 加速器物理，常使用纵向位置 作为自由变量，而非时间, 甚至坐在一个参考粒子上，观察整个粒子团，此时的六个坐标是：两个横向位置，两个横向倾角， 到达参考粒子位置处的时间差，能量偏离.

二极磁场偏转，四极磁场聚散焦，六极磁场消四极磁场引入的色散，八极磁场可以让束流均匀化等等. 保留到三阶，运动方程为，详情见Helmut Wiedemann. Particle accelerator physics. Springer Nature, 2015.：

2.利用传输矩阵，不光考虑一阶线性传输矩阵，还可以有高阶传输矩阵，这里面有Lie代数、微分代数、微扰法等,前提是加速器元件的磁场是已知的,有一个解析表达式.程序例如COSY Infinity等. 其实步骤差不多, 要抓住问题的主要矛盾，依次考虑各阶次要矛盾, 简单说明一下微分代数法和微扰法.

微分代数法：微分代数是计算机数值分析领域中的一个非常有效的新方法，它以非标准分析理论为基础，可以方便地实现任意高阶微分的运算。利用微分代数扩展数的映射关系，可以非常有效地处理一些困难的非线性动力学问题，包括电子光学的高阶像差问题。但是，已有的研究限于电子光学系统的电磁场具有解析表达式的情形。计算的复杂程度完全不依赖所研究的像差阶数的高低，并且数值计算结果没有截断误差，计算精度仅受限与机器精度。

个人理解就是不单算了函数值，还传递了导数信息。介绍一下微分代数的规则，并通过一个简单例子(一个自变量，只考虑它的一阶导数)说明，详情可见M. Berz, K. Makino, and W. Wan. An Introduction to Beam Physics. Series in High Energy Physics, Cosmology and Gravitation. Taylor & Francis, 2014. 定义一个矢量空间，它里面的运算规则是：

对于一个函数， ，易得，而如果用了上面那套规定，则有 (初始值是2，f(x)关于x的一阶导数是1，所以代入(2,1)).

束流动力学，如果传输系统固定了，束线位置 上的粒子坐标 就是初始入射坐标 的函数，使用了微分代数算法，还可以得到 等信息，其实这就是传输矩阵的系数(当然这暗含着，如果开始入射，参考粒子在中心处 粒子，在后来的位置处仍旧以它为中心 ). MSU出了一个code，叫Cosy Infinity.

微扰法：

微扰法求解下面这个方程：

这个方程的两个通解分别是 (类余弦函数)、 (类正弦函数)：针对 ， 代表初始位置为1，初始倾角为0； 代表初始位置为0，初始倾角为1。

先考虑 不依赖 的情况 ，特解由格林函数积分给出，有准确的形式：

如果 函数中含有 或者 ，在傍轴近似条件下，方程的解仍可近似表示为上式，这就是微扰的意义:

喜欢的一个女生已经好几天没理我，太难过了，剩下的以后慢慢完善吧.